La diode à vide, un conducteur non-ohmique

Les deux électrodes A et C d’une diode sont enfermées dans une ampoule où règne le vide. La cathode C émet, par effet thermoélectrique, des électrons sans vitesse initiale qui sont attirés par l’anode A maintenue au potentiel V₀ constant et positif (Figure 1).

Figure  1

En régime permanent, les électrons, de charge – e et de masse m, quittent la cathode qui se situe dans le plan x = 0 ; ils se dirigent vers l’anode positionnée au plan x = L.

a)       Quelle est la géométrie des équipotentielles ?

b)       Ecrire les 3 équations locales uni-dimensionnelles qui relient le potentiel V_x, la vitesse v_x des électrons émis et le nombre d’électrons n_x par unité de volume en un point M situé à la distance x de la cathode (0 < x < L).

c)       Présenter l’équation différentielle du potentiel V_x.

d)       L’expérience confirme qu’un nuage de conduction existe entre la cathode et l’anode ; calculer le potentiel V_x entre ces deux plans.

e)       En déduire une expression de la densité de courant j_a sur l’anode.

f)         En rappelant la définition du flux de j_a, trouver une expression du courant d’anode I_a en fonction des données et du potentiel d’anode V_a.

Corrigé

a) En première approximation, les équipotentielles sont des plans perpendiculaires à l’axe Ox. Les lignes de champ sont parallèles à l’axe Ox près de celui-ci et à peu près parallèles loin de celui-ci mais toujours entre la cathode et l’anode.

b) Le théorème de l’énergie cinétique, appliqué à l’électron émis entre la cathode et le point P, s’écrit :

Donc :    (1.1)

Remarque :On aurait pu penser à appliquer le principe fondamental de la dynamique (2^e loi de Newton) mais l’équation obtenue donne la vitesse en fonction du temps (vitesse croissant linéairement), et ce n’est pas la dépendance que nous cherchons.

L’équation de Poisson s’écrit en P :

, où la densité volumique de charge est .

Donc :    (1.2)

  (1.3)

c) Eliminons v(x) et N(x) entre les équations (1.1), (1.2) et  (1.3) ; d’après (1.2) et  (1.3), on a :

et d’après  (1.1),

d) Cette équation différentielle est de la forme :

avec   (1.4)

Pour résoudre cette équation différentielle en V(x), multiplions les deux membres de cette équation par 2 dV/dx, soit :

En intégrant, il vient :

Remarque : Avant d’intégrer, on peut légitimement se poser la question : est-ce que j_a est indépendant de x ? En effet, l’équation (1.3) laisse supposer que j_a dépend de x et que l’intégration va s’avérer impossible. Il faut s’imaginer la diode en régime permanent, un courant d’intensité constante la traverse. Cette intensité est égale au flux de j_a à travers la surface des électrodes. Cette surface est bien entendu constante, par conséquent, j_a est une constante sur tout le trajet des électrons entre la cathode et l’anode. Au niveau de la cathode, les électrons ont une vitesse extrêmement faible et la densité volumique est importante (ça embouteille dur !), mais au fur et à mesure que les électrons prennent de la vitesse, le « trafic se fluidifie », la densité volumique diminue, de sorte que le produit .

Au niveau de la cathode (x = 0), on a V = 0 et , donc cte = 0 ; on en déduit :

Séparons les variables : et intégrons :

, la constante est nulle car V = 0 pour x = 0.

Le potentiel électrostatique en P obéit donc à la loi :

,

Soit, d’après  (1.4) :

L’hypothèse E = 0 en C signifie qu’au niveau de la cathode, le champ dû aux charges des électrodes est égal et opposé au champ dû aux charges d’espace.

e)

, avec , on obtient :

avec